Быть насторожЕ (ударение на последнем слоге) – это быть внимательным, напряженном в ожидании чего-нибудь. Помните, у Лермонтова в "Герое нашего времени": "Быть всегда настороже, ловить каждый взгляд, значение каждого слова, угадывать намерения, разрушать заговоры, притворяться обманутым, и вдруг одним толчком опрокинуть все огромное и многотрудное здание их хитростей и замыслов, - вот что я называю жизнью"... Непросто быть всегда настороже.
Это наречие настороже восходит к предложному сочетанию со словом сторожа "караул", "стража". Прежде это сочетание - стать, стоять на сторОже или на стОроже употреблялось в буквальном смысле "стать, стоять на карауле". Об этом и пословица семнадцатого века: знать и по роже, что был на сторОже.
Сегодня сочетание "стоять на стороже" утрачено, а оборот "быть настороже" жив. Так что будьте настороже – правильно произносите это слово.