Словари разъясняют: нате - частица в значении "берите, возьмите, получите". А в русском устном "нате" и обороты "нате вам", "нате тебе" выражают удивление, восторг и негодование. - Я-то думал, что нате - глагол, а нате вам, оказывается, - это частица.
Эти сильные эмоции - удивление, восторг, негодование - закрепились и в рифмованном обороте русского устного "нате вам из-под кровати". Эффект неожиданности в обороте усиливает отсылка к кровати: кто же может знать, что вы там храните? А раз не знают, то и просьба достать и дать что-либо из-под кровати вряд ли возможна.
У Владимира Яковлева в рассказе "Вот вам нате!" Петрович, слесарь, обедая, открывает консервы "Килька в томатном соусе": "килька попалась вкусная. Петрович зачерпнул соуса ложки две, потом захотел рыбки со дна. Но ложка звякнула обо что-то металлическое, и Петрович выудил со дна какой-то предмет округлой формы. … Эта странная находка представляла собой болт М10. — Во вам нате, болт в томате! — произнёс Петрович и хотел добавить: "Из-под кровати!" — но кровати в слесарке не было. Были две скамьи, четыре стула, стол, верстак и стеллажи". Вот вам и нате - удивительное слово русского устного.