Сначала о самом слове бомж. Бомж – это бездомный, бродяга. А образовано слово бомж из сокращения слов: без определенного места жительства. Первые буквы этого словосочетания и образовали слово бомж.
Такое сокращение использовали в советское время как официальную информацию о паспортных данных. Задержали, скажем, бродягу – а в паспорте прописки нет, вот и писали в протоколе – бомж. У братьев Стругацких бомж в рассказе 1982 года: "Странный он был тип: для бомжа выглядел слишком, пожалуй, респектабельно, а для так называемого приличного человека казался слишком уж опустившимся". К началу века нынешнего бомж полностью обустроился в лексической системе русского языка. Сегодня есть бомжик, бомжевать, бомжовый, бомжатник, бомжиха. Языковая семья и дом есть – русская лексика. У слова бомж варианты множественного числа: бОмжи и бомжИ. Для официального строгого стиля – бОмжи, а для обихода – бомжИ.