Что это за струна? - Охотничья. В "Словаре современного русского литературного языка" находим глагол "стрyнить": в речи охотников - туго стягивать ремнем морду пойманного зверя. Вот от этого "струнить" и обороты "ходить по струнке, по струне" и переносное значение глагола приструнить "проявлять строгость по отношению к кому–либо, держать в строгости".
У Ивана Сергеевича Тургенева в рассказе "Петушков" читаем: "Чтобы все… по струнке у меня! Поведенец первый сорт! Беспорядков не потерплю!" Зачем же так строго? Можно и добрые слова применить.